Kapitel 1.6 Ermittlung eines Barwertes

In den bisherigen Abschnitten haben wir uns mit den betriebswirtschaftlichen Grundlagen beschäftigt, aus welchen Unterlagen wir einen Jahresüberschuss bzw. einen Bilanzgewinn ablesen und wie wir verschiedene Cashflow-Größen rechnerisch ableiten können. Wir erinnern uns, dass der Wert eines Unternehmens aus Sicht der Eigentümer (Eigenkapitalgeber) unter rein finanziellen Aspekten aus den zukünftigen Zuflüssen an Zahlungsmitteln an diese Eigentümer bestimmt wird. Um aus diesen zukünftigen Zahlungen, sprich einer langen (gedanklich unendlich langen) Zahlenreihe, einen einzigen Wert abzuleiten, muss diese Zahlenreihe in geeigneter Weise zusammengefasst werden.

Eine besonders einfache Form zur Zusammenfassung von Zahlenreihen haben wir schon verwendet: das ist die Formel der sogenannten „ewigen Rente“. Danach werden die ewig anfallenden zukünftigen Zahlungen (E) durch einen Zinssatz (i) wie folgt geteilt: E geteilt durch i oder als Formel: E/i. Das Ergebnis dieser Berechnung ist der Wert der ewigen Rente. Dieser Wert wird auch als „Barwert“ bezeichnet. Dieser Barwert ist eine einzige Zahl und stellt einen Geldbetrag dar, z.B. in Euro.

Damit man mit der Formel der ewigen Rente rechnen kann, muss aber die Voraussetzung erfüllt sein, dass die zukünftigen Zahlungen alle gleich hoch bzw. groß sind. Sobald der in einzelnen Jahren nicht mehr der Fall sein sollte, muss man mit einer anderen, komplizierter aussehenden Formel rechnen: Dabei handelt es sich um eine „Summenformel“, oft mit einem großen Sigma aus dem griechischen Alphabet symbolisiert. Nach dieser Formel müssen nun alle zukünftigen Zahlungen einzeln „abgezinst“ werden; die einzelnen abgezinsten Werte werden dann aufsummiert und ergeben dann in Summe den Barwert dieser Zahlungsreihe.

Die beiden Verfahren „ewige Rente“ und „Summenformel“ können nun auch kombiniert werden: Für die ersten zukünftig anfallenden Zahlungen geht man von unterschiedlichen Größen pro Jahr aus (das ist die sogenannte Detailplanungsphase). Für die sich anschließende Zeit kann man keine unterschiedlichen Zahlungen pro Jahr mehr prognostizieren, weshalb man dann von einer konstanten („ewigen“) Zahlungsreihe ausgeht. In diesem Fall summiert man mit der Summenformel die abgezinsten Werte der Detailplanung auf und addiert dazu den Barwert der ewigen Rente für die sich anschließenden jährlich unveränderten Planjahre. Wir werden uns dazu gleich ein Beispiel ansehen.

Der Barwert einer ewigen Rente ermittelt sich wie folgt: Man teilt den im Zähler stehenden nachhaltigen Zahlungsmittelüberschuss durch den im Nenner stehenden Zinssatz. So ergibt sich bei einem nachhaltigen („ewigen“) Zahlungsmittelüberschuss von 100 (Zähler) und einem Zins von 10% (Nenner) ein Barwert von 100/10% = 1.000. Zu beachten ist: Steigt der Zinssatz (also z.B. 15%), dann sinkt der Barwert (in dem Beispiel 100/15% = 667). Und natürlich umgekehrt.

Kommt die Summenformel zur Anwendung, weil die Zahlungsmittelüberschüsse der einzelnen Jahre nicht gleich hoch (uniform) sind, dann sind die Überschüsse der einzelnen Jahre (beispielsweise für drei Jahre) jeweils einzeln abzuzinsen nach der folgenden Formel:

Überschuss des jeweiligen Jahres geteilt durch (1+Zinssatz) hoch 1 für das erste Jahr, hoch 2 für das zweite Jahr und hoch 3 für das dritte Jahr.

Das Zeichen ^ bedeutet, dass die anschließende Zahl „hochgestellt“ ist. Beachte ferner, dass eine Prozentzahl entsprechend der lateinischen Bedeutung des Wortes „Prozent“ = „von Hundert“ in Dezimalschreibweise z.B. wie folgt geschrieben wird: 10% = 0,1. Der Schrägstrich steht für ein „geteilt durch“, könnte auch durch einen Bruchstrich ausgedrückt werden.

Beispiel zur Berechnung des Barwertes der Zahlungen aus drei Jahren: Jahr 1, Jahr 2 und Jahr 3. Die Zahlungen in den einzelnen Jahren sollen sich wie folgt belaufen:
Jahr 1 = 100,00, Jahr 2 = 120,00 und Jahr 3 = 150,00
Zu ermitteln ist der Barwert auf den 1.1. des Jahres 1 unter Verwendung eines für jedes Jahr identischen Zinssatzes von 10 %.

Nachstehend die Lösung dieses Beispiels:

Das vorstehende Beispiel soll nun wie folgt ergänzt werden: Ab dem Jahr 4 rechnet man mit einer jährlich gleichbleibenden Zahlung in Höhe von 140,00.

Die Lösung dieses Beispiels wird nachstehend gezeigt:

Durch das Einfügen der Jahre 4 ff., diese Phase wird auch einfach in Anlehnung an die Berechnungsformel „Ewige Rente“ oder „Terminal Value“, abgekürzt „TV“, bezeichnet, ist die Berechnung um einen Zwischenschritt zu ergänzen. Zunächst soll der Barwert dieser ewigen Rente ermittelt werden. Die Formel für diese ewige Rente ergibt den Barwert der Zahlungen der Jahre 4 ff., und zwar – das ist wichtig! – abgezinst auf den 1.1. des Jahres 4. Da der 1.1. des Jahres 4 identisch ist mit dem 31.12. des Jahres 3 und die Zahlung des Jahres 3 um genau drei Jahre („hoch drei“) abgezinst wurde, so ist auch der Barwert der ewigen Rente um drei (und nicht, wie man denken könnte vier!) Jahre abzuzinsen.

Nachdem die Berechnung von verschiedenen Zahlungsreihen verdeutlicht worden ist, gehen wir nachstehend der Frage nach, warum überhaupt abgezinst – und z.B. nicht einfach nur aufaddiert – wird. Mal abgesehen davon, dass rein formal bei einer ewigen Rente ohne Abzinsung auch ein unendlich großer Unternehmenswert herauskäme, hat die Abzinsung einen ökonomischen Hintergrund, der nachstehend besprochen wird.

Intuitiv würde man Geld, was man heute, statt in einem Jahr bekommt, lieber nehmen. Aber warum ist das auch ökonomisch so? Wird Geld erst in einem Jahr ausgezahlt, statt sofort, hat es einen geringeren Wert. Gehen wir davon aus, dass wir das Geld erst in einem Jahr für ein Ausgabe benötigen. Bekommt man im Fall a) das Geld sofort ausgezahlt, kann man es für ein Jahr verzinslich anlegen und dann einschließlich der Zinsen für dieses Jahr für die Ausgabe verwenden. Bekommt man im Fall b) das Geld erst in einem Jahr ausgezahlt, fehlt dieser Zinseffekt und es steht einem weniger Geld für die geplante Ausgabe zur Verfügung.

Um die Fälle a) und b) ökonomisch gleich zu behandeln, nimmt man die in den Beispielen gezeigte „Abzinsung“ vor. Es wird damit genau der vorstehend beschriebene Zinseffekt ausgeglichen.

Benötige ich für meine Ausgabe 110 und habe die Möglichkeit, Geld für 10% anzulegen, so werden Fall a) und b) ökonomisch gleich, wenn ich im Fall a) 100 ausgezahlt bekomme und im Fall b) 110.

In den vorstehenden Beispielen ist für das Jahr 1 praktisch der Fall b) gegeben: Ich bekomme 110 und muss diese 110 für ein Jahr mit 10% abzinsen, und komme dann zu 100. Aus der „sofort“-Sicht des Falles a) sind die erst in einem Jahr ausgezahlten 110 genau 100 wert.

Zur Ermittlung von Barwerten gibt es Übungsaufgaben.